Реклама на портале

Золотое сечение треугольника. Золотое сечение

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В период развития архитектуры, когда были слабо изучены физико-механические характеристики строительных материалов, не было апробированных методов расчета строительных конструкций, – превалировал эмпирический опыт и строгое следование выявленным на практике гармоническим пропорциям “золотого сечения”.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a: b = c: d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ: АС = АВ: ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a: b = b: c или с: b = b: а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618…, если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382… Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471…1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.


Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Рис. 6. Построение золотого треугольника

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427…347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей » посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.


Рис. 7. Динамические прямоугольники

Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах » Евклида . Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи , художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли , и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер . Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в.Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Ещё в древнем Египте было известно Золотое сечение , Леонардо да Винчи и Евклид изучали свойства его. Зрительное восприятие человека устроено таким образом, что он различает по форме все предметы, которые его окружают. Его интерес к предмету или его форме, продиктован иногда необходимостью, или этот интерес могла вызвать красота предмета. Если в самой основе построения формы, использовано сочетание золотого сечения и законы симметрии, то это наилучшее сочетание для визуального восприятия человеком, который ощущает гармонию и красоту. Всё целое состоит из частей, больших и малых, и эти разной величины части имеют определённое отношение, как друг к другу, так и к целому. А высшее проявление функционального и структурного совершенства в природе, науке, искусстве, архитектуре и технике это Принцип золотого сечения . Понятие о золотом сечении ввел в научный обиход древнегреческий математик и философ (VI в. до н.э.) Пифагор. Но само знание о золотом сечении он позаимствовал у древних египтян. Пропорции всех построек храмов, пирамиды Хеопса, барельефов, предметы быта и украшения из гробниц показывают, что соотношение золотого сечения активно использовалось древними мастерами ещё задолго до Пифагора. Как пример: барельеф из храма Сети I в Абидосе и в барельефе Рамзеса использован принцип золотого сечения в пропорциях фигур. Выяснил это архитектор Ле Корбюзье. На деревянной доске извлечённой из гробницы Зодчего Хесира, изображен рельефный рисунок, на котором виден сам зодчий, держащий в руках инструменты для измерений, которые изображены в положении фиксирующем принципы золотого сечения . Знал о принципах золотого сечения и Платон (427...347 гг. до н.э.). Диалог «Тимей» тому доказательство,так как он посвящен вопросам золотого деления , эстетическим и математическим воззрениям школы Пифагора. Принципы Золотого сечения использованы древнегреческими архитекторами в фасаде храма Парфенона. Циркули которые применяли в своей работе древние архитекторы и скульпторы античного мира были обнаружены при раскопках храма Парфенона.

Парфенон, Акрополь., Афины В Помпеях (музей в Неаполе) пропорции золотого деления так же имеются в наличии. В античной литературе дошедшей до нас принцип золотого сечения упоминается впервые в «Началах» Евклида. В книге «Начал» во второй части дается геометрический принцип золотого сечения . Последователями Евклида стали Папп (III в. н.э.) Гипсикл (II в. до н.э.), и др. В средневековую Европу с принципом золотого сечения познакомились по переводам с арабского Евклидовских «Начал». Принципы золотого сечения были известны только узкому кругу посвященных,они ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Наступила эпоха возрождения и интерес к принципам золотого сечения увеличивается в среде учёных и художников так как этот принцип применим и в науке, и в архитектуре, и в искусстве. И Леонардо Да Винчи стал использовать эти принципы в своих произведениях, даже более того он начал писать книгу по геометрии, но но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, который опередил его и выпустил в свет книгу «Божественная пропорция» после чего Леонардо оставил свой труд не законченным. По оценкам историков науки и современников, Лука Пачоли являлся настоящим светилом, гениальным Итальянским математиком в проживавшим в период между Галилеем и Фибоначчи. Являясь учеником художника Пьеро делла Франчески, Лука Пачоли написал две книги, «О перспективе в живописи», название одной из них. Он по мнению многих является творцом начертательной геометрии. Лука Пачоли по приглашению герцога Моро в 1496 г приезжает в Милан, и читает там лекции по математике. Леонардо да Винчи в это время работал при дворе Моро. Изданная в 1509 году в Венеции книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» стала восторженным гимном золотой пропорции , с иллюстрациями прекрасно выполненными, есть все основания полагать что иллюстрации выполнил сам Леонардо да Винчи. Монах Лука Пачоли, как одно из достоинств золотой пропорции выделял её «божественную суть». Понимая научную и художественную ценность золотого сечения,Леонардо да Винчи посвящал много времени для его изучения. Выполняя сечение стереометрического тела, состоящего из пятиугольников, он получал прямоугольники с отношениями сторон в соответствии с золотым сечением . И название он ему дал “золотое сечение ”. Которое держится до сих пор. Альбрехт Дюрер,так же занимается изучением золотого сечения в Европе, встречается с монахом Лукой Пачоли. Иоган Кеплер величайший астроном того времени, первым обращает внимание на значение золотого сечения для ботаники называя его сокровищем геометрии. Он называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Она так устроена, – он говорил, – сумма двух младших членов нескончаемой пропорции дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Золотой треугольник:: Золотое отношение и Золотое Сечение:: Золотой прямоугольник:: Золотая спираль

Золотой треугольник

Что бы найти отрезки золотой пропорции нисходящего и восходящего рядов воспользуемся пентаграммой.

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для того чтобы построить пентаграмму нужно начертить правильный пятиугольник по разработанному немецким живописцем и графиком Альбрехтом Дюрером, способом построения. Если O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Используя циркуль, отметим отрезок на диаметре CE = ED. Тогда длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Затем через один угол соединяем углы пятиугольника диагоналями и получим пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Рис. 6. Построение золотого

треугольника

Золотое сечение и Золотое Сечение

В математике и искусстве, две величины находятся в золотой пропорции, если соотношение между суммой этих величин и большиего такое же, как соотношение между большего и меньшего. Выразил алгебраически: Золотое сечение часто обозначается греческой буквой фи (? или?). фигура золотого сечения иллюстрирует геометрические отношения, которые определяют эту константу. Золотое сечение является иррациональной математической константой, примерно 1,6180339887.

Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник представляет собой прямоугольник, длины сторон находятся в золотой пропорции, 1: ? (один-к-фи), то есть 1: или примерно 1:1.618. Золотой прямоугольник может быть построен только с линейкой и циркулем: 1. Построить простой квадрат 2. Нарисуйте линию от середины одной стороны площади к противоположному углу 3. Используйте эту линию в качестве радиуса, чтобы нарисовать дугу, которая определяет высоту прямоугольника 4. Завершить золотой прямоугольник

Золотая спираль

В геометрии, золотой спиралью является логарифмическая спираль, фактор роста которой b связано с ? , золотым сечением. В частности, золотая спираль становится более широкой (дальше от места ее начала) на коэффициент ? для каждой четверти оборота который она делает.

Последовательные точки деления золотого прямоугольника на квадраты, лежат на логарифмической спирали, которая иногда известна как золотая спираль.

Золотое сечение в архитектуре и искусстве.

Многие архитекторы и художники свои работы исполняли в соответствии с пропорциями золотого сечения, особенно в виде золотого прямоугольника, в котором отношение большей стороны к меньшей имеет пропорции золотого сечения, полагая, что это соотношение будет эстетично. [ Источник: Wikipedia.org ]

Вот несколько примеров:


Парфенон, Акрополь., Афины . Этот древний храм подходит почти точно в золотой прямоугольник.

Витрувианский Человек Леонардо да Винчи можно сделать много линий прямоугольников в эту цифру. Затем, существуют три различных набора золотых прямоугольников: Каждый набор для области головы, туловища, и ног. Рисунок Леонардо Да Винчи Витрувианский Человек иногда путают с принципами "золотого прямоугольника", однако, это не так. Построение Витрувианского Человека основано на рисовании круга с диаметром, равным диагонали квадрата, перемещая его вверх таким образом, что он будет касаться основания квадрата и составление окончательного круга между основанием площади и средней точке между площадью центра квадрата и центра круга: Подробное объяснение о геометрических строительство >>

Золотое сечение в природе.

Адольф Цейзинг, чьи основные интересы были математика и философия, нашел золотую пропорцию в расположении ветвей вдоль стебля растения и прожилок в листьях. Он расширил свои исследования и от растений перешёл к животным, изучая скелеты животных и разветвлений их вен и нервов, а так же в пропорциях химических соединений и геометрии кристаллов, вплоть до использования золотого сечения в изобразительном искусстве. В этих явлениях, он увидел, что золотая пропорция используется везде в качестве универсального закона, Цейзинг написал в 1854 году.: Золотое сечение является универсальным законом, в котором содержится основной принцип формирующий стремление к красоте и полноте в таких областях, как природы, так и искусства, которая пронизывает, как первостепенный духовный идеал, всех структур, форм и пропорций, будь то космическое или физическое лицо, органическое или неорганическое, акустическое или оптическое, но свою наиболее полную реализацию принцип золотого сечения находит, в человеческой форме.

Примеры:

Срез оболочки Nautilus открывает золотой принцип построения спирали.

Моцарт разделил свои сонаты на две части, длины которых отражают золотое сечение , хотя существует много споров о том, сознательно ли он это сделал. В более современные времена, венгерский композитор Бела Барток и французский архитектор Ле Корбюзье целенаправленно включали принцип золотой пропорции в свои работы. Даже сегодня, золотое сечение окружает нас повсеместно в искусственных предметах. Посмотрите на практически любой христианский крест, отношение вертикальной части к горизонтальной золотая пропорция. Чтобы найти золотой прямоугольник, посмотрите в своём бумажнике, и вы найдёте там кредитные карты. Несмотря на эти многочисленные доказательства приведённые в произведениях искусства созданные на протяжении веков, в настоящее время ведутся дискуссии среди психологов о том, действительно ли люди воспринимают золотые пропорции, в частности, золотой прямоугольник, как более красивым, чем другие формы. В 1995 году статье в журнале, профессор Кристофер Грин, из Йоркского университета в Торонто, обсуждает ряд экспериментов на протяжении многих лет, которые не показали какого либо предпочтение форме золотой прямоугольник, но отмечает, что некоторые другие представили доказательства того, что такое предпочтение не существует. Но независимо от науки, золотое сечение сохраняет свою загадочность, отчасти потому, что отлично применяется во многих неожиданных местах в природе. Спираль раковины моллюска Наутилус удивительно близка к золотому сечению , и отношение длины грудной клетки и живота у большинства пчел почти золотое сечение . Даже сечения из наиболее распространенных форм человеческой ДНК прекрасно вписывается в золотой десятиугольник. Золотое сечение и его родственники также появляются во многих неожиданных контекстах, в математике, и они продолжают вызвать интерес математических сообществ. Д-р Стивен Марквардт, бывший пластический хирург, использовал эту загадочную пропорцию золотое сечение , в своей работе, которое уже давно отвечает за красоту и гармонию, чтобы сделать маску, которую он считал самой красивой формой человеческого лица которое только может быть.

Маска совершенного человеческого лица

Египетская царица Нефертити (1400 до н.э.)

лицо Иисуса копия с Туринской плащанице и исправлено в соответствии с маской д-ра Стивена Марквардта.

«Усредненное» (синтезированное) лицо из числа знаменитостей. С пропорциями золотого сечения.

Использовались материалы сайта: http://blog.world-mysteries.com/

На практике при выборе формата листа (картины) часто используют «классические» пропорции сторон прямоугольника, в котором отношение меньшей стороны к большей составляет число 0,6180339, а большей к меньшей — 1,6180339. Эти числа с древнейших времён называют золотыми, а отношение величин, необходимое для их получения, известно как золотая пропорция или золотое сечение.

Основа учения о гармонии мира, выраженная в числовых отношениях, была заложена древнегреческим учёным-математиком Пифагором (VI в до н.э). Им представлено золотое сечение как одна из закономерностей, математически точно определяющая наиболее красивое и гармоничное соотношение частей целого, разделённого на две неравные половины.

На соотношении частей отрезка в пропорциях золотого сечения основано построение прямоугольника. С помощью диагоналей осуществляется членение его на составные части, при котором образуется динамика пропорциональных фигур — квадрата, прямоугольника, а также прямоугольного и равнобедренного треугольников.

Т.о., используя диагонали можно получить последовательный ряд увеличивающихся прямоугольников, с соотношением сторон — 1:√ 2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, производных от квадрата.


При стороне √4 образуется прямоугольник с удвоенным квадратом. При стороне √3 образуется два прямоугольных треугольника, у которых общая гипотенуза является диагональю прямоугольника, равная удвоенной величине меньшего катета (т.е. стороне квадрата), и они имеют острые углы 30 и 60 градусов.

Диагональ используется и в построении последовательно увеличивающихся квадратов, создающих «динамическое» развитие их величины.


В этом построении сторона каждого последующего квадрата относится к стороне предыдущего, как диагональ квадрата к его же стороне. Эти преобразования иногда называют «активным квадратом».

Геометрическая система динамических пропорций квадрата, прямоугольника и треугольника были основой в создании архитектурных сооружений в ранний период Древнего Египта. Кроме того, в условиях примитивной техники архитектурного строительства в те далёкие времена постоянно требовалось восстановление перпендикуляра к прямой, которое осуществлялось тогда при помощи верёвки с 12 узлами. С использованием такого приспособления получался прямоугольный треугольник с отношением строно - 3:4:5, который впоследствии стали называть египетским. В настоящее время на его основе строят прямые углы и проводят перпендикуляры к концу отрезка.

С древнейших времён золотое сечение используется в практике построения различных изображений. Это способствует созданию гармоничных образов и уравновешенности пропорций во всём, что на окружает. Пропорции золотого сечения присутствуют в мамематике, и особенно в геометрии, в изобразительном искусстве, в быту и в природе, в растительном и животном мире.

Золотое сечение получило широкое развитие в математике. Так, в XVI веке итальянский учёный Фибоначчи выстроил математический ряд цифр, при котором последующее число определяет сумму двух предыдущих - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Кроме того, устанавливается и другая зависимость этих чисел, при которой отношение каждого последующего к предыдущему выражается числом 1,618..., а предыдущего к последующему - 0,618. Таким образом, в этом математическом ряду образуется взаимосвязь чисел, содержащая пропорции золотого сечения.

Особенно часто золотое сечение используется в геометрии при делении окружности на равные части и построении правильных многоугольников.

В звёздчатом многоугольнике - пятиконечной звезде, каждая точка пересечения её сторон делит их на две неравные части в пропорциях золотого сечения.

С древнейших времён золотое сечение применялось в различных видах изобразительного искусства - в архитектуре, вкульптуре, живописи. Парфенон - классический пример применения золотого сечения в архитектуре.

Особенно широко использовал в своём творчестве соотношение величин золотого сечения Леонардо да Винчи, которое он назвал «божественная пропорция».

Числовой гармонии золотого сечения подчиняются также античные статуи греческого искусства, отражающие пропорции идеально сложённого человеческого тела.

Золотое сечение применяют в начертании букв и цифр различного шрифта.

Золотое сечение часто используют в определении величины прямоугольника при заданной его большей или меньшей стороне. Если у прямоугольной картины задана длина (АВ), то её высоту (АС) определяют следующим построением:


Сначала из конца отрезка (В) проводят дугу, равную его половине до пересечения с перпендикуляром (АО=ОВ=ВД). Полученную точку Д соединяют прямой с другим концом отрезка (А). Затем из точки Д проводят дугу радиусом ВД до пересечения с этой прямой и отмечают точку Е. Дуга, проведённая из конца отрезка А радиусом АЕ определяет по вертикальной прямой точку С и искомую высоту картины АС.

Если задана высота картины (АС), то её длину (АВ) определяют другим построением. Сначала строят квадрат АСДЕ со стороной равной АС. Затем из середины стороны квадрата (О) проводят дугу радиусом ОД и получают на горизонтальной прямой точку В, которая определит искомую длину стороны прямоугольной картины АВ.

По прямоугольнику с золотыми пропорциями можно построить любой величинны подобный формат листа.


Для этого его накладывают на лист бумаги в один из его углов (А) и проводят в нём диагональ. Затем от точки А откладывают заданный размер горизонтальной или вертикальной стороны формата листа и через его конец проводят перпендикуляр до пересечения с диагональю, которая определит вторую сторону прямоугольника.

Эта гармония поражает своими масштабами...

Здравствуйте, друзья!

Вы что-нибудь слышали о Божественной гармонии или Золотом сечении? Задумывались ли о том, почему нам что-то кажется идеальным и красивым, а что-то отталкивает?

Если нет, то вы удачно попали на эту статью, потому что в ней мы обсудим золотое сечение, узнаем что это такое, как оно выглядит в природе и в человеке. Поговорим о его принципах, узнаем что такое ряд Фибоначчи и многое многое другое, включая понятие золотой прямоугольник и золотая спираль.

Да, в статье много изображений, формул, как-никак, золотое сечение - это еще и математика. Но все описано достаточно простым языком, наглядно. А еще, в конце статьи, вы узнаете, почему все так любят котиков =)

Что такое золотое сечение?

Если по-простому, то золотое сечение - это определенное правило пропорции, которое создает гармонию ?. То есть, если мы не нарушаем правила этих пропорций, то у нас получается очень гармоничная композиция.

Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому.

Но, кроме этого, золотое сечение - это математика: у него есть конкретная формула и конкретное число. Многие математики, вообще, считают его формулой божественной гармонии, и называют «асимметричной симметрией».

До наших современников золотое сечение дошло со времен Древней Греции, однако, бытует мнение, что сами греки уже подсмотрели золотое сечение у египтян. Потому что многие произведения искусства Древнего Египта четко построены по канонам этой пропорции.

Считается, что первым ввел понятие золотого сечения Пифагор. До наших дней дошли труды Евклида (он при помощи золотого сечения строил правильные пятиугольники, именно поэтому такой пятиугольник назван «золотым»), а число золотого сечения названо в честь древнегреческого архитектора Фидия. То есть, это у нас число «фи» (обозначается греческой буквой φ), и равно оно 1.6180339887498948482… Естественно, это значение округляют: φ = 1,618 или φ = 1,62, а в процентном соотношении золотое сечение выглядит, как 62% и 38%.

В чем же уникальность этой пропорции (а она, поверьте, есть)? Давайте для начала попробуем разобраться на примере отрезка. Итак, берем отрезок и делим его на неравные части таким образом, чтобы его меньшая часть относилась к большей, как большая ко всему целому. Понимаю, не очень пока ясно, что к чему, попробую проиллюстрировать наглядней на примере отрезков:


Итак, берем отрезок и делим его на два других, таким образом, чтобы меньший отрезок а, относился к большему отрезку b, так же, как и отрезок b относится к целому, то есть ко всей линии (a + b). Математически это выглядит так:


Этот правило работает бесконечно, вы можете делить отрезки сколь угодно долго. И, видите, как это просто. Главное один раз понять и все.

Но теперь рассмотрим более сложный пример, который попадается очень часто, так как золотое сечение еще представляют в виде золотого прямоугольника (соотношение сторон которого равно φ = 1,62). Это очень интересный прямоугольник: если от него «отрезать» квадрат, то мы снова получим золотой прямоугольник. И так бесконечно много раз. Смотрите:


Но математика не была бы математикой, если бы в ней не было формул. Так что, друзья, сейчас будет немножко «больно». Решение золотой пропорции спрятала под спойлер, очень много формул, но без них не хочу оставлять статью.

Ряд Фибоначчи и золотое сечение

Продолжаем творить и наблюдать за магией математики и золотого сечения. В средние века был такой товарищ - Фибоначчи (или Фибоначи, везде по-разному пишут). Любил математику и задачи, была у него и интересная задачка с размножением кроликов =) Но не в этом суть. Он открыл числовую последовательность, числа в ней так и зовутся «числа Фибоначчи».

Сама последовательность выглядит так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... и дальше до бесконечности.

Если словами, то последовательность Фибоначчи - это такая последовательность чисел, где каждое последующее число, равно сумме двух предыдущих.

Причем здесь золотое сечение? Сейчас увидите.

Спираль Фибоначчи

Чтобы увидеть и прочувствовать всю связь числового ряда Фибоначчи и золотого сечения, нужно снова взглянуть на формулы.

Иными словами, с 9-го члена последовательности Фибоначчи мы начинаем получать значения золотого сечения. И если визуализировать всю эту картину, то мы увидим, как последовательность Фибоначчи создает прямоугольники все ближе и ближе к золотому прямоугольнику. Вот такая вот связь.

Теперь поговорим о спирали Фибоначчи, ее еще называют «золотой спиралью».

Золотая спираль - логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ4, где φ - золотое сечение.

В общем и целом, с точки зрения математики, золотое сечение - идеальная пропорция. Но на этом ее чудеса только начинаются. Принципам золотого сечения подчинен почти весь мир, эту пропорцию создала сама природа. Даже эзотерики, и те, видят в ней числовую мощь. Но об этом точно не в этой статье будем говорить, поэтому, чтобы ничего не пропустить, можете подписаться на обновления сайта.

Золотое сечение в природе, человеке, искусстве

Прежде, чем мы начнем, хотелось бы уточнить ряд неточностей. Во-первых, само определение золотого сечения в данном контексте не совсем верно. Дело в том, что само понятие «сечение» - это термин геометрический, обозначающий всегда плоскость, но никак не последовательность чисел Фибоначчи.

И, во-вторых, числовой ряд и соотношение одного к другому, конечно, превратили в некий трафарет, который можно накладывать на все, что кажется подозрительным, и очень радоваться, когда есть совпадения, но все же, здравый смысл терять не стоит.

Однако, «все смешалось в нашем королевстве» и одно стало синонимом другого. Так что в общем и целом, смысл от этого не потерялся. А теперь к делу.

Вы удивитесь, но золотое сечение, точнее пропорции максимально приближенные к нему, можно увидеть практически везде, даже в зеркале. Не верите? Давайте с этого и начнем.

Знаете, когда я училась рисовать, то нам объясняли, как проще строить лицо человека, его тело и прочее. Все надо рассчитывать, относительно чего-то другого.

Все, абсолютно все пропорционально: кости, наши пальцы, ладони, расстояния на лице, расстояние вытянутых рук по отношению к телу и так далее. Но даже это не все, внутреннее строение нашего организма, даже оно, приравнивается или почти приравнивается к золотой формуле сечения. Вот какие расстояния и пропорции:

    от плеч до макушки к размеру головы = 1:1.618

    от пупка до макушки к отрезку от плеч до макушки = 1:1.618

    от пупка до коленок и от коленок до ступней = 1:1.618

    от подбородка до крайней точки верхней губы и от нее до носа = 1:1.618


Разве это не удивительно!? Гармония в чистом виде, как внутри, так и снаружи. И именно поэтому, на каком-то подсознательном что-ли уровне, некоторые люди не кажутся нам красивыми, даже если у них крепкое подтянутое тело, бархатная кожа, красивые волосы, глаза и прочее и все остальное. Но, все равно, малейшее нарушений пропорций тела, и внешность уже слегка «режет глаза».

Короче говоря, чем красивее кажется нам человек, тем ближе его пропорции к идеальным. И это, кстати, не только к человеческому телу можно отнести.

Золотое сечение в природе и ее явлениях

Классическим примером золотого сечения в природе является раковина моллюска Nautilus pompilius и аммонита. Но это далеко не все, есть еще много примеров:

    в завитках человеческого уха мы можем увидеть золотую спираль;

    ее же (или приближенную к ней) в спиралях, по которым закручиваются галактики;

    и в молекуле ДНК;

    по ряду Фибоначчи устроен центр подсолнуха, растут шишки, середина цветов, ананас и многие другие плоды.

Друзья, примеров настолько много, что я просто оставлю тут видеоролик (он чуть ниже), чтобы не перегружать текстом статью. Потому что, если эту тему копать, то можно углубиться в такие дебри: еще древние греки доказывали, что Вселенная и, вообще, все пространство, - спланировано по принципу золотого сечения.

Вы удивитесь, но эти правила можно отыскать даже в звуке. Смотрите:

    Наивысшая точка звука, вызывающая боль и дискомфорт в наших ушах, равна 130 децибелам.

    Делим пропорцией 130 на число золотого сечения φ = 1,62 и получаем 80 децибел - звук человеческого крика.

    Продолжаем пропорционально делить и получаем, скажем так, нормальную громкость человеческой речи: 80 / φ = 50 децибел.

    Ну, а последний звук, который получим благодаря формуле – приятный звук шепота = 2,618.

По данному принципу можно определить оптимально-комфортное, минимальное и максимальное число температуры, давления, влажности. Я не проверяла, и не знаю, насколько эта теория верна, но, согласитесь, звучит впечатляюще.

Абсолютно во всем живом и не живом можно прочесть высшую красоту и гармонию.

Главное, только не увлекаться этим, ведь если мы хотим что-то в чем-то увидеть, то увидим, даже если этого там нет. Вот я, например, обратила внимание на дизайн PS4 и увидела там золотое сечение =) Впрочем, эта консоль настолько классная, что не удивлюсь, если дизайнер, и правда, что-то там мудрил.

Золотое сечение в искусстве

Тоже очень большая и обширная тема, которую стоит рассмотреть отдельно. Тут лишь помечу несколько базовых моментов. Самое примечательное, что многие произведения искусства и архитектурные шедевры древности (и не только) сделаны, по принципам золотого сечения.

    Египетские и пирамиды Майя, Нотр-дам де Пари, греческий Парфенон и так далее.

    В музыкальных произведениях Моцарта, Шопена, Шуберта, Баха и прочих.

    В живописи (там это наглядно видно): все самые знаменитые картины известных художников сделаны с учетом правил золотого сечения.

    Эти принципы можно встретить и в стихах Пушкина, и в бюсте красавицы Нефертити.

    Даже сейчас правила золотой пропорции используются, например, в фотографии. Ну, и конечно, во всем остальном искусстве, включая кинематограф и дизайн.

Золотые котики Фибоначчи

Ну и, наконец, о котиках! Вы задумывались о том, почему все так любят котеек? Они же ведь заполонили Интернет! Котики везде и это чудесно =)

А все дело в том, что кошки - идеальны! Не верите? Сейчас докажу вам это математически!

Видите? Тайна раскрыта! Котейки идеальны с точки зрения математики, природы и Вселенной =)

* Я шучу, конечно. Нет, кошки, действительно, идеальны) Но математически их никто не измерял, наверное.

На этом, в общем-то, все, друзья! Мы увидимся в следующих статьях. Удачи вам!

P. S. Изображения взяты с сайта medium.com.

Любому человеку, которому хотя бы косвенно приходилось сталкиваться с геометрией пространственных объектов в интерьерном дизайне и архитектуре, наверняка хорошо известен принцип золотого сечения. Еще недавно, несколько десятков лет назад, популярность золотого сечения была настолько высокой, что многочисленные сторонники мистических теорий и устройства мира его называют универсальным гармоническим правилом.

Сущность универсальной пропорции

Удивительно другое. Причиной предвзятого, почти мистического отношения к столь простой числовой зависимости послужило несколько необычных свойств:

  • Большое количество объектов живого мира, от вируса до человека, имеют основные пропорции тела или конечностей, очень близкие к значению золотого сечения;
  • Зависимость 0,63 или 1,62 характерна только для биологических существ и некоторых разновидностей кристаллов, неживые объекты, от минералов до элементов ландшафта, обладают геометрией золотого сечения крайне редко;
  • Золотые пропорции в строении тела оказались наиболее оптимальными для выживания реальных биологических объектов.

Сегодня золотое сечение находят в строении тела животных, панцирей и раковин моллюсков, пропорций листьев, веток, стволов и корневых систем у достаточно большого числа кустарников и трав.

Многими последователями теории универсальности золотого сечения неоднократно предпринимались попытки доказать тот факт, что его пропорции являются наиболее оптимальными для биологических организмов в условиях их существования.

Обычно в качестве примера приводится устройство раковины Astreae Heliotropium, одного из морских моллюсков. Панцирь представляет собой свернутую спиралью кальцитовую оболочку с геометрией, практически совпадающей с пропорциями золотого сечения.

Более понятным и очевидным примером является обычное куриное яйцо.

Соотношение основных параметров, а именно, большого и малого фокуса, или расстояний от равноудаленных точек поверхности до центра тяжести, будет также соответствовать золотому сечению. При этом форма скорлупы птичьего яйца является наиболее оптимальной для выживания птицы, как биологического вида. При этом прочность скорлупы играет далеко не главную роль.

К сведению! Золотое сечение, называемое еще универсальной пропорцией геометрии, было получено в результате огромного количества практических измерений и сравнений размеров реальных растений, птиц, животных.

Происхождение универсальной пропорции

О золотой пропорции сечения знали древнегреческие математики Евклид и Пифагор. В одном из памятников древней архитектуры — пирамиде Хеопса соотношение сторон и основания, отдельные элементы и настенные барельефы выполнены в соответствии с универсальной пропорцией.

Методика золотого сечения широко использовалась в средние века художниками и архитекторами, при этом суть универсальной пропорции считалась одной из тайн вселенной и тщательно скрывалась от простого обывателя. Композиция многих картин, скульптур и зданий выстраивалась строго в соответствии с пропорциями золотого сечения.

Впервые суть универсальной пропорции документально была сформулирована в 1509 г монахом-францисканцем Лукой Пачоли, обладавшим блестящими математическими способностями. Но настоящее признание состоялось после проведения немецким ученым Цейзингом всестороннего изучения пропорций и геометрии человеческого тела, древних скульптур, произведений искусства, животных и растений.

У большинства живых объектов некоторые размеры тела подчиняются одним и тем же пропорциям. В 1855 г ученым был сделан вывод о том, что пропорции золотого сечения являются своеобразным стандартом гармонии тела и формы. Речь идет, прежде всего, о живых существах, для мертвой природы золотое сечение встречается значительно реже.

Как получили золотое сечение

Пропорцию золотого сечения проще всего представить, как отношение двух частей одного объекта разной длины, разделенных точкой.

Проще говоря, сколько длин маленького отрезка поместится внутри большого, или отношение самой большей из частей ко всей длине линейного объекта. В первом случае соотношение золотого сечения составляет 0,63, во втором варианте соотношение сторон равняется 1,618034.

На практике золотое сечение представляет собой всего лишь пропорцию, соотношение отрезков определенной длины, сторон прямоугольника или других геометрических форм, родственных или сопряженных размерных характеристик реальных объектов.

Первоначально золотые пропорции были выведены эмпирическим путем с помощью геометрических построений. Существует несколько способов построения или выведения гармонической пропорции:


К сведению! В отличие от классического золотого соотношения, архитектурная версия подразумевает соотношение сторон отрезка в пропорции 44:56.

Если стандартный вариант золотого сечения для живых существ, живописи, графики, скульптур и античных построек рассчитывался, как 37:63, то золотое сечение в архитектуре с конца XVII века все чаще стало использоваться 44:56. Большинство специалистов считают изменение в пользу более «квадратных» пропорций распространением высотного строительства.

Главный секрет золотого сечения

Если природные проявления универсального сечения в пропорциях тел животных и человека, стеблевой основы растений еще можно объяснить эволюцией и приспосабливаемостью к влиянию внешней среды, то открытие золотого сечения в строительстве домов XII-XIX века стало определенной неожиданностью. Мало того, знаменитый древнегреческий Парфенон был построен с соблюдением универсальной пропорции, многие дома и замки состоятельных вельмож и зажиточных людей в средние века строились сознательно с параметрами, очень близкими к золотому сечению.

Золотое сечение в архитектуре

Многие из построек, сохранившихся до сегодняшних дней, свидетельствуют, что архитекторы средневековья знали о существовании золотого сечения, и, конечно, при строительстве дома руководствовались своими примитивными расчетами и зависимостями, с помощью которых пытались добиться максимальной прочности. Особенно проявлялось желание строить максимально красивые и гармоничные дома в постройках резиденций царствующих особ, церквей, ратуш и зданий, имеющих особое социальное значение в обществе.

Например, знаменитый собор Парижской богоматери в своих пропорциях имеет немало участков и размерных цепей, соответствующих золотому сечению.

Еще до публикации своих исследований в 1855 году профессором Цейзингом, в конце XVIII века были построены знаменитые архитектурные комплексы Голицынской больницы и здания сената в Санкт-Петербурге, дома Пашкова и Петровского дворца в Москве с использованием пропорций золотого сечения.

Разумеется, дома с точным соблюдением правила золотого сечения строили и ранее. Стоит упомянуть памятник древней архитектуры церкви Покрова на Нерли, изображенный на схеме.

Всех их объединяет не только гармоничное сочетание форм и высокое качество строительства, но и, в первую очередь, наличие золотого сечения в пропорциях здания. Удивительная красота постройки становится еще более загадочной, если принять во внимание возраст, здание церкви Покрова датируется XIII веком, но современный архитектурный облик постройка получила на рубеже XVII века в результате реставрации и перестройки.

Особенность золотого сечения для человека

Старинная архитектура зданий и домов средневековья остается притягательной и интересной для современного человека по многим причинам:

  • Индивидуальный художественный стиль в оформлении фасадов позволяет избежать современного штампа и серости, каждое здание представляет собой произведение искусства;
  • Массовое использование для декорирования и украшения статуй, скульптур, лепнины, необычных сочетаний строительных решений разных эпох;
  • Пропорции и композиции здания притягивают взор к наиболее важным элементам постройки.

Важно! При проектировании дома и разработке внешнего вида средневековые архитекторы применяли правило золотого сечения, неосознанно используя особенности восприятия подсознания человека.

Современные психологи экспериментально доказали, что золотое сечение является проявлением неосознанного желания или реакции человека на гармоничное сочетание или пропорцию в размерах, формах и даже цветах. Был проведен эксперимент, в ходе которого группе людей, незнакомых между собой, не имеющих общих интересов, разных профессий и возрастных категорий, предложили ряд тестов, среди которых была задача согнуть лист бумаги в наиболее оптимальной пропорции сторон. По результатам тестирования было установлено, что в 85 случаях из 100 лист сгибался испытуемыми практически точно по золотому сечению.

Поэтому современная наука считает, что феномен универсальной пропорции является психологическим явлением, а не действием каких-либо метафизических сил.

Использование фактора универсального сечения в современном дизайне и архитектуре

Принципы применения золотой пропорции в последние несколько лет стали необыкновенно популярны в строительстве частных домов. На смену экологии и безопасности строительных материалов пришли гармоничность конструкции и правильное распределение энергии внутри дома.

Современная интерпретация правила всеобщей гармонии давно распространилась за пределы привычной геометрии и формы объекта. Сегодня правилу подчиняются не только размерные цепи длины портика и фронтона, отдельных элементов фасада и высоты здания, но и площадь комнат, оконных и дверных проемов, и даже цветовая гамма внутреннего интерьера помещения.

Проще всего построить гармоничный дом на модульной основе. В этом случае большинство отделений и комнат изготавливаются в виде самостоятельных блоков или модулей, спроектированных с соблюдением правила золотого сечения. Построить здание в виде набора гармоничных модулей значительно проще, чем строить одну коробку, в которой большая часть фасада и внутренних помещений должна быть в жестких рамках пропорций золотого сечения.

Немало строительных фирм, выполняющих проектирование частных домовладений, используют принципы и понятия золотого сечения для увеличения сметы и создания у клиентов впечатления глубокой проработки конструкции дома. Как правило, такой дом декларируется, как очень удобный и гармоничный в пользовании. Правильно подобранное соотношение площадей комнат гарантирует душевный комфорт и отменное здоровье хозяев.

Если дом был построен без учета оптимальных соотношений золотого сечения, можно выполнить перепланировку комнат так, чтобы пропорции помещения соответствовали соотношению стен в пропорции 1:1,61. Для этого может перемещаться мебель или устанавливаться дополнительные перегородки внутри комнат. Аналогичным образом меняются размеры оконных и дверных проемов так, чтобы ширина проема была меньше высоты дверного полотна в 1,61 раза. Таким же способом выполняется планирование мебели, бытовой техники, отделки стен и пола.

Сложнее выбрать цветовое оформление. В этом случае вместо привычного соотношения 63:37 последователями золотого правила принята упрощенная трактовка - 2/3. То есть основной цветовой фон должен занимать 60% пространства помещения, оттеняющему цвету отдают не более 30%, и остальное отводится под различные родственные тона, призванные усилить восприятие цветового решения.

Внутренние стены помещения делятся горизонтальным поясом или бордюром на высоте 70 см, установленная мебель должна соизмеряться с высотой потолков по соотношению золотого сечения. То же правило касается распределения длин, например, размер дивана не должен превышать 2/3 длины простенка, а общая площадь, занимаемая мебелью, относится к площади комнаты, как 1:1,61.

Золотую пропорцию сложно в массовом порядке применять на практике из-за всего лишь одного значения сечения, поэтому при проектировании гармоничных зданий нередко прибегают к ряду чисел Фибоначчи. Это позволяет расширить количество возможных вариантов пропорций и геометрических форм основных элементов дома. В этом случае ряд чисел Фибоначчи, связанных между собой четкой математической зависимостью, называют гармоническим или золотым.

В современной методике проектирования жилья на основе принципа золотого сечения, кроме ряда Фибоначчи, широко используется принцип, предложенный известным французским архитектором Ле Корбюзье. В этом случае в качестве отправной единицы измерения, по которой рассчитываются все параметры здания и внутреннего интерьера, выбирается рост будущего владельца или средняя высота человека. Такой подход позволяет спроектировать дом не только гармоничный, но и по-настоящему индивидуальный.

Заключение

На практике, по отзывам тех, кто решился на строительство дома по правилу золотого сечения, качественно построенное здание действительно оказывается достаточно удобным для проживания. Но стоимость строения из-за индивидуального проектирования и применения стройматериалов нестандартных размеров возрастает на 60-70%. И в этом подходе нет ничего нового, так как большинство зданий прошлого века строилось именно под индивидуальные особенности будущих хозяев.