Suhe

Võrrand x 2 1. Lahendage ruutvõrrand võrgus

7. klassi matemaatikakursusel puutume esimest korda kokku kahe muutujaga võrrandid, kuid neid uuritakse ainult kahe tundmatuga võrrandisüsteemide kontekstis. Seetõttu langeb silmist terve rida ülesandeid, mille puhul kehtestatakse võrrandi koefitsientidele teatud tingimused, mis neid piiravad. Lisaks jäetakse tähelepanuta ka sellised ülesannete lahendamise meetodid nagu “Lahenda võrrand naturaal- või täisarvudes”, kuigi ühtse riigieksami materjalides ja sisseastumiseksamitel leidub sedalaadi ülesandeid üha sagedamini.

Millist võrrandit nimetatakse kahe muutujaga võrrandiks?

Näiteks võrrandid 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 või xy = 12 on kahe muutuja võrrandid.

Vaatleme võrrandit 2x – y = 1. See muutub tõeseks, kui x = 2 ja y = 3, seega on see muutuja väärtuste paar vaadeldava võrrandi lahendus.

Seega on mis tahes kahe muutujaga võrrandi lahenduseks järjestatud paaride komplekt (x; y), muutujate väärtused, mis muudavad selle võrrandi tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Kahe tundmatuga võrrand võib:

A) on üks lahendus. Näiteks võrrandil x 2 + 5y 2 = 0 on kordumatu lahend (0; 0);

b) on mitu lahendust. Näiteks (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 on 4 lahendust: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) pole lahendusi. Näiteks võrrandil x 2 + y 2 + 1 = 0 pole lahendeid;

G) lahendusi on lõputult palju. Näiteks x + y = 3. Selle võrrandi lahenditeks on arvud, mille summa on 3. Selle võrrandi lahendite hulga saab kirjutada kujul (k; 3 – k), kus k on mis tahes reaalne number.

Peamised meetodid kahe muutujaga võrrandite lahendamiseks on meetodid, mis põhinevad faktoringuavaldistel, täisruudu eraldamisel, ruutvõrrandi omadusi kasutades, piiratud avaldistel ja hindamismeetoditel. Võrrand muundatakse tavaliselt kujule, millest saab süsteemi tundmatute leidmiseks.

Faktoriseerimine

Näide 1.

Lahendage võrrand: xy – 2 = 2x – y.

Lahendus.

Rühmitame faktoriseerimise eesmärgil terminid:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Igast sulust võtame välja ühise teguri:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y – 2) = 0. Meil on:

y = 2, x – mis tahes reaalarv või x = -1, y – mis tahes reaalarv.

Seega vastuseks on kõik paarid kujul (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R.

Mittenegatiivsete arvude võrdsus nulliga

Näide 2.

Lahendage võrrand: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lahendus.

Rühmitamine:

(9x 2 – 12x + 4) + (4a 2 – 12a + 9) = 0. Nüüd saab iga klambri kokku voltida, kasutades ruudulise vahe valemit.

(3x – 2) 2 + (2a – 3) 2 = 0.

Kahe mittenegatiivse avaldise summa on null ainult siis, kui 3x – 2 = 0 ja 2y – 3 = 0.

See tähendab, et x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastus: (2/3; 3/2).

Hindamismeetod

Näide 3.

Lahendage võrrand: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Lahendus.

Igas sulus valime täieliku ruudu:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hindame sulgudes olevate väljendite tähendus.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, siis võrrandi vasak pool on alati vähemalt 2. Võrdsus on võimalik, kui:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y – 2) 2 + 2 = 2, mis tähendab, et x = -1, y = 2.

Vastus: (-1; 2).

Tutvume teise meetodiga kahe teise astme muutujaga võrrandite lahendamiseks. See meetod seisneb võrrandi käsitlemises kui ruut mõne muutuja suhtes.

Näide 4.

Lahendage võrrand: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lahendus.

Lahendame võrrandi x ruutvõrrandina. Leiame diskrimineerija:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4 (√y – 2) 2 . Võrrandil on lahendus ainult siis, kui D = 0, st kui y = 4. Asendame y väärtuse algse võrrandiga ja leiame, et x = 3.

Vastus: (3; 4).

Sageli näitavad nad kahe tundmatuga võrrandites piirangud muutujatele.

Näide 5.

Lahendage võrrand täisarvudes: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lahendus.

Kirjutame võrrandi ümber kujul x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Saadud võrrandi parem pool jagamisel 5-ga annab jäägi 2. Seega x 2 ei jagu 5-ga. arv, mis ei jagu 5-ga, annab jäägi 1 või 4. Seega on võrdsus võimatu ja lahendeid pole.

Vastus: pole juuri.

Näide 6.

Lahendage võrrand: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lahendus.

Tõstkem esile igas sulus olevad täielikud ruudud:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Võrrandi vasak pool on alati suurem kui 3 või sellega võrdne. Võrdsus on võimalik tingimusel |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Seega x = ± 2, y = -3.

Vastus: (2; -3) ja (-2; -3).

Näide 7.

Iga võrrandit rahuldava negatiivse täisarvu (x;y) paari jaoks
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, arvutage summa (x + y). Palun märkige vastuses väikseim summa.

Lahendus.

Valime täielikud ruudud:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4 a + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kuna x ja y on täisarvud, on ka nende ruudud täisarvud. Kui liidame 1 + 36, saame kahe täisarvu ruutude summaks 37. Seega:

(x – y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Neid süsteeme lahendades ja arvestades, et x ja y on negatiivsed, leiame lahendid: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastus: -17.

Ärge heitke meelt, kui teil on raskusi kahe tundmatuga võrrandite lahendamisega. Veidi harjutades saate hakkama mis tahes võrrandiga.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas lahendada kahe muutuja võrrandeid?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oskus neid lahendada on absoluutselt vajalik.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist pange tähele, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

ei oma juuri;
neil on täpselt üks juur;
Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruutvõrrandite ja lineaarsete võrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja ainulaadne. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu antud ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac.

Peate seda valemit peast teadma. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

Kui D< 0, корней нет;
Kui D = 0, on täpselt üks juur;
Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel usuvad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

x 2 – 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame välja esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskrimineerija:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit sarnasel viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane järelejäänud võrrand on:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant on null – juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid üles kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu, kuid te ei aja tõenäosust segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui saate asjast aru, ei pea te mõne aja pärast kõiki koefitsiente üles kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd edasi lahenduse enda juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest - saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siingi aitab ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, kirjutage iga samm üles - ja varsti saate vigadest lahti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb veidi definitsioonis esitatust. Näiteks:

x 2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

On lihtne märgata, et nendel võrranditel puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: need ei nõua isegi diskriminandi arvutamist. Niisiis, tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.

Muidugi on võimalik väga keeruline juhtum, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b = c = 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 = 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x = 0.

Vaatleme ülejäänud juhtumeid. Olgu b = 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c = 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsel arvul, on viimane võrdsus mõttekas ainult juhul, kui (−c /a) ≥ 0. Järeldus:

Kui mittetäielikus ruutvõrrandis kujul ax 2 + c = 0 on ebavõrdsus (−c /a) ≥ 0 täidetud, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
Kui (-c /a)< 0, корней нет.

Nagu näete, ei olnud diskriminanti vaja – mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c /a) ≥ 0. Piisab kui väljendada väärtust x 2 ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Vaatame nüüd võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi arvutamisest:

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks vaatame mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

x 2 – 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

Siit näeme, et on olemas üks võrrand 3 * x – 1 = 0.

Saime lineaarvõrrandi kujul 3 * x – 1 = 0

Võrrandi lahendamiseks teeme kindlaks, millised omadused võrrandil on:

Võrrand on lineaarne ja on kirjutatud kujul a * x + b = 0, kus a ja b on suvalised arvud;
Kui a = b = 0, on võrrandil lõpmatu arv lahendeid;
Kui a = 0, b ≠ 0, pole võrrandil lahendust;
Kui a ≠ 0, b = 0, on võrrandil lahendus: x = 0;
Kui a ja b on suvalised arvud peale 0, siis leitakse juur järgmise valemiga x = - b/a.

Siit saame, et a = 3, b = - 1, mis tähendab, et võrrandil on üks juur.

Võrrandi lahendi kontrollimine

Asendame leitud väärtuse x = 1/3 algse avaldisega |3 * x - 1| = 0, siis saame:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Avaldise väärtuse leidmiseks arvutame esmalt kordamööda korrutamise või jagamise, seejärel liidame või lahutame. See tähendab, et saame:

See tähendab, et x = 1/3 on võrrandi juur |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Moodul avaneb pluss- ja miinusmärgiga. Saame 2 võrrandit:

1) 3 * x - 1 = 0;

Me kanname teada väärtused ühele poole ja tundmatud väärtused teisele poole. Väärtuste ülekandmisel muutuvad nende märgid vastupidiseks. See tähendab, et saame:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Sulgude avamine. Kuna sulgude ees on miinusmärk, siis nende laiendamisel muutuvad väärtuste märgid vastupidiseks. See tähendab, et saame:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = -1/(-3);
x = 1/3;
Vastus: x = 1/3.