Vektorite punktkorrutis

Jätkame vektoritega tegelemist. Esimesel õppetunnil Mannekeenide vektorid oleme käsitlenud vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate ja lihtsamaid ülesandeid vektoritega. Kui sattusite sellele lehele esimest korda otsingumootori kaudu, soovitan soojalt lugeda ülaltoodud sissejuhatavat artiklit, sest materjali omastamiseks peate juhinduma minu kasutatavatest terminitest ja tähistustest, omama elementaarseid teadmisi vektorite kohta ja oskama elementaarseid probleeme lahendada. See õppetund on teema loogiline jätk ja selles analüüsin üksikasjalikult tüüpilisi ülesandeid, mis kasutavad vektorite skalaarkorrutist. See on VÄGA OLULINE töö.. Proovige mitte jätta näiteid vahele, nendega kaasneb kasulik boonus - praktika aitab käsitletavat materjali koondada ja "kätte saada" analüütilise geomeetria levinud probleemide lahendamisel.

Vektorite liitmine, vektori arvuga korrutamine…. Naiivne oleks arvata, et matemaatikud pole midagi muud välja mõelnud. Lisaks juba vaadeldud toimingutele on mitmeid muid vektoritega toiminguid, nimelt: vektorite punktkorrutis, vektorite ristkorrutis ja vektorite segakorrutis. Vektorite skalaarkorrutis on meile tuttav kooliajast, ülejäänud kaks korrutist on traditsiooniliselt seotud kõrgema matemaatika kursusega. Teemad on lihtsad, paljude probleemide lahendamise algoritm stereotüüpne ja arusaadav. Ainuke asi. Infot on korralik kogus, mistõttu pole soovitav püüda KÕIKE JA KORRAGA valdada ja lahendada. See kehtib eriti mannekeenide kohta, uskuge mind, autor ei taha absoluutselt tunda end nagu matemaatikast pärit Chikatilo. No matemaatikast ka muidugi mitte =) Ettevalmistumad õpilased saavad materjale valikuliselt kasutada, teatud mõttes puuduolevaid teadmisi “omandada”, sinu jaoks olen mina kahjutu krahv Dracula =)

Lõpetuseks teeme ukse natuke lahti ja vaatame, mis juhtub siis, kui kaks vektorit kohtuvad….

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon.
Skalaarkorrutise omadused. Tüüpilised ülesanded

Punkttoote kontseptsioon

Kõigepealt umbes nurk vektorite vahel. Ma arvan, et kõik saavad intuitiivselt aru, mis on vektorite vaheline nurk, aga igaks juhuks natuke rohkem. Vaatleme vabu nulliväliseid vektoreid ja . Kui lükkame need vektorid suvalisest punktist edasi, saame pildi, mille paljud on juba vaimselt esitanud:

Tunnistan, siin kirjeldasin olukorda ainult mõistmise tasemel. Kui vajate vektorite vahelise nurga ranget määratlust, vaadake õpikut, kuid praktiliste ülesannete jaoks me seda põhimõtteliselt ei vaja. Ka SIIN JA EDASI jätan mõnikord nullvektorid nende vähese praktilise tähtsuse tõttu tähelepanuta. Tegin broneeringu spetsiaalselt saidi edasijõudnud külastajatele, kes võivad mulle ette heita mõne järgneva väite teoreetilise ebatäielikkuse pärast.

võib võtta väärtusi vahemikus 0 kuni 180 kraadi (0 kuni radiaanini) kaasa arvatud. Analüütiliselt kirjutatakse see fakt topelt ebavõrdsusena: või (radiaanides).

Kirjanduses on nurga ikoon sageli välja jäetud ja lihtsalt kirjutatud.

Definitsioon: Kahe vektori skalaarkorrutis on ARV, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:

Nüüd on see üsna range määratlus.

Keskendume olulisele teabele:

Määramine: skalaarkorrutist tähistatakse lihtsalt või .

Operatsiooni tulemus on NUMBER: arvu saamiseks korrutage vektor vektoriga. Tõepoolest, kui vektorite pikkused on arvud, nurga koosinus on arv, siis nende korrutis on ka number.

Paar näidet soojenduseks:

Näide 1

Lahendus: Kasutame valemit . Sel juhul:

Vastus:

Koosinusväärtused leiate siit trigonomeetriline tabel. Soovitan selle printida - seda nõutakse peaaegu kõigis torni osades ja seda on vaja mitu korda.

Puhtalt matemaatilisest vaatenurgast on skalaarkorrutis mõõtmeteta, see tähendab, et tulemus on antud juhul vaid arv ja kõik. Füüsikaülesannete seisukohalt on skalaarkorrutisel alati teatud füüsikaline tähendus ehk pärast tulemust tuleb näidata üks või teine ​​füüsikaline ühik. Jõu töö arvutamise kanoonilise näite võib leida igast õpikust (valem on täpselt punktkorrutis). Jõu tööd mõõdetakse džaulides, seetõttu kirjutatakse vastus üsna konkreetselt, näiteks.

Näide 2

Leia, kui , ja vektorite vaheline nurk on .

See on näide eneseotsustamiseks, vastus on tunni lõpus.

Nurk vektorite ja punktkorrutise väärtuse vahel

Näites 1 osutus skalaarkorrutis positiivseks ja näites 2 negatiivseks. Uurime, millest sõltub skalaarkorrutise märk. Vaatame oma valemit: . Nullist erineva vektorite pikkused on alati positiivsed: , seega võib märk sõltuda ainult koosinuse väärtusest.

Märge: Alltoodud teabe paremaks mõistmiseks on parem uurida juhendis koosinusgraafikut Graafikud ja funktsioonide omadused. Vaadake, kuidas koosinus segmendil käitub.

Nagu juba märgitud, võib vektorite vaheline nurk erineda ja võimalikud on järgmised juhtumid:

1) Kui süstimine vektorite vahel vürtsikas: (0 kuni 90 kraadi), siis , ja punkttoode on positiivne kaasrežissöör, siis loetakse nendevaheline nurk nulliks ja skalaarkorrutis on samuti positiivne. Kuna , siis on valem lihtsustatud: .

2) Kui süstimine vektorite vahel nüri: (90-180 kraadi), siis ja vastavalt punktkorrutis on negatiivne: . Erijuhtum: kui vektorid suunatud vastupidiselt, siis arvestatakse nende vahelist nurka kasutusele võetud: (180 kraadi). Ka skalaarkorrutis on negatiivne, kuna

Tõsi on ka vastupidised väited:

1) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk terav. Teise võimalusena on vektorid kaassuunalised.

2) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk nüri. Teise võimalusena on vektorid suunatud vastupidi.

Kuid kolmas juhtum pakub erilist huvi:

3) Kui süstimine vektorite vahel otse: (90 kraadi) siis ja punktkorrutis on null: . Tõsi on ka vastupidine: kui , siis . Kompaktne avaldus on sõnastatud järgmiselt: Kahe vektori skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis, kui antud vektorid on ortogonaalsed. Lühike matemaatiline märge:

! Märge : korda matemaatilise loogika alused: kahepoolse loogilise tagajärje ikooni loetakse tavaliselt "kui ja ainult siis", "kui ja ainult siis". Nagu näete, on nooled suunatud mõlemas suunas - "siit järgneb see ja vastupidi - siit järgneb see." Mis vahe on muuseas ühesuunalise jälgimise ikoonist? Ikoon väidab ainult et et "sellest järeldub see", mitte tõsiasi, et vastupidine on tõsi. Näiteks: , kuid mitte iga loom ei ole panter, seega ei saa ikooni sel juhul kasutada. Samal ajal ikooni asemel saab kasutage ühepoolset ikooni. Näiteks ülesande lahendamisel saime teada, et jõudsime järeldusele, et vektorid on ortogonaalsed: - selline rekord on õige ja isegi sobivam kui .

Kolmas juhtum on väga praktilise tähtsusega., kuna see võimaldab teil kontrollida, kas vektorid on ortogonaalsed või mitte. See ülesanne lahendame tunni teises osas.

Dot toote omadused

Pöördume tagasi olukorra juurde, kui kaks vektorit kaasrežissöör. Sel juhul on nende vaheline nurk null, ja skalaarkorrutise valem on järgmisel kujul: .

Mis juhtub, kui vektor korrutatakse iseendaga? On selge, et vektor on suunatud iseendaga, seega kasutame ülaltoodud lihtsustatud valemit:

Numbrile helistatakse skalaarruut vektor , ja on tähistatud kui .

Sellel viisil, vektori skalaarruut on võrdne antud vektori pikkuse ruuduga:

Sellest võrdsusest saate vektori pikkuse arvutamise valemi:

Kuigi see tundub ebaselge, kuid tunni ülesanded panevad kõik oma kohale. Probleemide lahendamiseks vajame ka dot toote omadused.

Suvaliste vektorite ja mis tahes arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) - nihutatav või kommutatiivne skalaarkorrutise seadus.

2) - levitamine või jaotav skalaarkorrutise seadus. Lihtsamalt öeldes saate avada sulud.

3) - kombinatsioon või assotsiatiivne skalaarkorrutise seadus. Konstandi saab skalaarkorrutisest välja võtta.

Tihtipeale tajuvad kõikvõimalikud omadused (mis vajavad ka tõestamist!) õpilased tarbetu prügina, mis tuleb vaid pärast eksamit pähe õppida ja turvaliselt unustada. Näib, et mis siin oluline on, kõik teavad juba esimesest klassist, et toode ei muutu tegurite permutatsioonist:. Pean hoiatama, et kõrgemas matemaatikas on sellise lähenemisega lihtne asju sassi ajada. Seega näiteks kommutatiivne omadus ei kehti algebralised maatriksid. See ei vasta tõele vektorite ristkorrutis. Seetõttu on vähemalt parem süveneda kõigisse omadustesse, mida kõrgema matemaatika käigus kohtate, et mõista, mida saab ja mida mitte.

Näide 3

.

Lahendus: Kõigepealt teeme olukorra selgeks vektoriga. Milles see on? Vektorite summa ja on täpselt määratletud vektor, mida tähistatakse . Vektoritega toimingute geomeetrilise tõlgenduse leiate artiklist Mannekeenide vektorid. Sama petersell vektoriga on vektorite summa ja .

Seega on tingimuse järgi vaja leida skalaarkorrutis. Teoreetiliselt peate rakendama töövalemit , aga häda on selles, et me ei tea vektorite pikkusi ja nende vahelist nurka. Kuid tingimusel on vektorite jaoks antud sarnased parameetrid, seega läheme teist teed:

(1) Asendame vektorite avaldised.

(2) Avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi, vulgaarse keeleväänaja leiab artiklist Keerulised numbrid või Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine. Ma ei korda ennast =) Muide, skalaarkorrutise jaotusomadus võimaldab sulgusid avada. Meil on õigus.

(3) Esimeses ja viimases osas kirjutame kompaktselt vektorite skalaarruudud: . Teises liikmes kasutame skalaarkorrutise kommuteeritavust: .

(4) Siin on sarnased terminid: .

(5) Esimeses liikmes kasutame skalaarruutvalemit, mida mainiti mitte nii kaua aega tagasi. Viimasel ametiajal töötab sama asi: . Teist terminit laiendatakse standardvalemi järgi .

(6) Asendage need tingimused , ja sooritage HOOLIKALT lõplikud arvutused.

Vastus:

Punktkorrutise negatiivne väärtus näitab, et vektorite vaheline nurk on nüri.

Ülesanne on tüüpiline, siin on näide iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 4

Leidke vektorite skalaarkorrutis ja , kui see on teada .

Nüüd veel üks levinud ülesanne, just uue vektori pikkuse valemi jaoks. Siinsed tähistused kattuvad veidi, nii et selguse huvides kirjutan selle ümber teise tähega:

Näide 5

Leia vektori pikkus, kui .

Lahendus saab olema järgmine:

(1) Esitame vektoravaldise .

(2) Kasutame pikkuse valemit: , samas kui vektorina "ve" on täisarv.

(3) Summa ruudu jaoks kasutame kooli valemit. Pöörake tähelepanu sellele, kuidas see uudishimulikult siin töötab: - tegelikult on see erinevuse ruut ja tegelikult see nii on. Soovijad saavad vektoreid kohati ümber paigutada: - kuni terminite ümberpaigutamiseni selgus sama.

(4) Järgnev on juba kahest eelnevast ülesandest tuttav.

Vastus:

Kuna me räägime pikkusest, ärge unustage märkida mõõdet - "ühikud".

Näide 6

Leia vektori pikkus, kui .

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Jätkame skalaarkorrutisest kasulike asjade väljapressimist. Vaatame uuesti oma valemit . Proportsioonireegli järgi lähtestame vektorite pikkused vasaku külje nimetaja järgi:

Vahetame osad ära:

Mis on selle valemi tähendus? Kui on teada kahe vektori pikkused ja nende skalaarkorrutis, siis on võimalik arvutada nende vektorite vahelise nurga koosinus ja sellest tulenevalt ka nurk ise.

Kas skalaarkorrutis on arv? Number. Kas vektori pikkused on arvud? Numbrid. Nii et ka murd on arv. Ja kui nurga koosinus on teada: , siis on pöördfunktsiooni kasutades lihtne nurk ise leida: .

Näide 7

Leia nurk vektorite ja , kui on teada, et .

Lahendus: Kasutame valemit:

Arvutuste viimases etapis kasutati tehnikat - nimetaja irratsionaalsuse kõrvaldamist. Irratsionaalsuse kõrvaldamiseks korrutasin lugeja ja nimetaja arvuga.

Nii et kui , siis:

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtused leiate järgmiselt trigonomeetriline tabel. Kuigi seda juhtub harva. Analüütilise geomeetria ülesannetes ilmneb palju sagedamini mõni kohmakas karu, mille nurga väärtus tuleb kalkulaatori abil leida ligikaudu. Tegelikult näeme seda pilti ikka ja jälle.

Vastus:

Jällegi ärge unustage täpsustada mõõdet - radiaanid ja kraadid. Isiklikult eelistan kõigi küsimuste tahtlikuks "eemaldamiseks" märkida mõlemad (välja arvatud juhul, kui muidugi tingimuse järgi on vaja vastust esitada ainult radiaanides või ainult kraadides).

Nüüd saate raskema ülesandega iseseisvalt hakkama:

Näide 7*

Antud on vektorite pikkused ja nendevaheline nurk. Leia vektorite vaheline nurk , .

Ülesanne pole niivõrd raske kui mitmesuunaline.
Analüüsime lahendusalgoritmi:

1) Vastavalt tingimusele on vaja leida nurk vektorite ja vahel, seega peate kasutama valemit .

2) Leiame skalaarkorrutise (vt näiteid nr 3, 4).

3) Leidke vektori pikkus ja vektori pikkus (vt näited nr 5, 6).

4) Lahenduse lõpp langeb kokku näitega nr 7 - me teame arvu , mis tähendab, et nurka ennast on lihtne leida:

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Tunni teine ​​osa on pühendatud samale punktitootele. Koordinaadid. See on veelgi lihtsam kui esimeses osas.

vektorite punktkorrutis,
antud koordinaatidega ortonormaalsel alusel

Vastus:

Ütlematagi selge, et koordinaatidega tegelemine on palju meeldivam.

Näide 14

Leia vektorite skalaarkorrutis ja kui

See on tee-seda-ise näide. Siin saab kasutada tehte assotsiatiivsust ehk mitte arvestada, vaid võtta skalaarkorrutisest kohe kolmik välja ja korrutada sellega viimaseks. Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Lõigu lõpus provokatiivne näide vektori pikkuse arvutamisest:

Näide 15

Leia vektorite pikkused , kui

Lahendus: jällegi soovitab end eelmise jaotise meetod: aga on ka teine ​​võimalus:

Leiame vektori:

Ja selle pikkus triviaalse valemi järgi :

Skalaarkorrutis pole siin üldse asjakohane!

Kui asjata on see vektori pikkuse arvutamisel:
Peatus. Miks mitte kasutada ära vektori ilmset pikkusomadust? Mida saab öelda vektori pikkuse kohta? See vektor on vektorist 5 korda pikem. Suund on vastupidine, kuid see pole oluline, sest me räägime pikkusest. Ilmselgelt on vektori pikkus võrdne korrutisega moodul numbrid vektori pikkuse kohta:
- mooduli märk "sööb ära" numbri võimaliku miinuse.

Sellel viisil:

Vastus:

Koordinaatidega antud vektorite vahelise nurga koosinuse valem

Nüüd on meil täielik teave, et väljendada varem tuletatud vektoritevahelise nurga koosinuse valemit vektorite koordinaatidena:

Tasapinnavektorite vahelise nurga koosinus ja ortonormaalses alusel , väljendatakse valemiga:
.

Ruumivektorite vahelise nurga koosinus, antud ortonormaalses baasis , väljendatakse valemiga:

Näide 16

Kolmnurga kolm tippu on antud. Leia (tipunurk ).

Lahendus: Tingimusel pole joonist vaja, kuid siiski:

Vajalik nurk on tähistatud rohelise kaarega. Tuletame kohe meelde nurga koolitähistust: - erilist tähelepanu keskel täht - see on meile vajaliku nurga tipp. Lühiduse huvides võiks selle kirjutada ka lihtsalt.

Jooniselt on üsna ilmne, et kolmnurga nurk langeb kokku vektorite ja vahelise nurgaga, teisisõnu: .

Soovitav on õppida vaimselt sooritatud analüüsi sooritama.

Leiame vektorid:

Arvutame skalaarkorrutise:

Ja vektorite pikkused:

Nurga koosinus:

Just sellist ülesannete järjekorda soovitan mannekeenidele. Kogenumad lugejad saavad arvutused kirjutada "ühele reale":

Siin on näide "halvast" koosinusväärtusest. Saadud väärtus ei ole lõplik, seega pole suurt mõtet nimetaja irratsionaalsusest vabaneda.

Leiame nurga:

Kui vaadata joonist, on tulemus üsna usutav. Nurka kontrollimiseks saab mõõta ka nurgamõõturiga. Ärge kahjustage monitori katet =)

Vastus:

Vastuseks ärge unustage seda küsis kolmnurga nurga kohta(ja mitte vektorite vahelise nurga kohta), ärge unustage näidata täpset vastust: ja nurga ligikaudset väärtust: leitud kalkulaatoriga.

Need, kes on protsessi nautinud, saavad arvutada nurgad ja veenduda, et kanooniline võrdsus on tõsi

Näide 17

Kolmnurk on antud ruumis selle tippude koordinaatidega. Leia külgede vaheline nurk ja

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Väike viimane osa on pühendatud projektsioonidele, milles on "kaasatud" ka skalaarkorrutis:

Vektori projektsioon vektorile. Vektorprojektsioon koordinaattelgedele.
Vektori suuna koosinused

Võtke arvesse vektoreid ja:

Projekteerime vektori vektorile , selleks jätame vektori algusest ja lõpust välja perpendikulaarid vektori kohta (rohelised punktiirjooned). Kujutage ette, et valguskiired langevad vektorile risti. Siis on segment (punane joon) vektori "vari". Sel juhul on vektori projektsioon vektorile lõigu PIKKUS. See tähendab, PROJEKTSIOON ON NUMBER.

See NUMBER on tähistatud järgmiselt: , "suur vektor" tähistab vektorit MIS projekt, "väike alamindeksi vektor" tähistab vektorit ON mis on prognoositud.

Kirje ise kõlab järgmiselt: "vektori "a" projektsioon vektorile "olla"".

Mis juhtub, kui vektor "olla" on "liiga lühike"? Joonistame sirge, mis sisaldab vektorit "olla". Ja vektor "a" projitseeritakse juba vektori "olema" suunas, lihtsalt - sirgel, mis sisaldab vektorit "olla". Sama juhtub ka siis, kui vektor "a" on kolmekümnendas kuningriigis kõrvale jäetud – see projitseerub ikkagi kergesti joonele, mis sisaldab vektorit "olla".

Kui nurk vektorite vahel vürtsikas(nagu pildil), siis

Kui vektorid ortogonaalne, siis (projektsioon on punkt, mille mõõtmed on oletatud nulliks).

Kui nurk vektorite vahel nüri(joonisel asetage vektori nool mõtteliselt ümber), seejärel (sama pikk, kuid võetud miinusmärgiga).

Jätke need vektorid ühest punktist kõrvale:

Ilmselgelt vektorit liigutades selle projektsioon ei muutu

Samuti tulevad iseseisva lahenduse ülesanded, mille vastuseid näete.

Kui ülesandes on nii vektorite pikkused kui ka nendevaheline nurk esitatud "hõbetaldrikul", siis ülesande seisukord ja lahendus näeb välja selline:

Näide 1 Vektorid on antud. Leidke vektorite skalaarkorrutis, kui nende pikkused ja nendevaheline nurk on esitatud järgmiste väärtustega:

Kehtib ka teine ​​definitsioon, mis on täiesti samaväärne 1. definitsiooniga.

2. definitsioon. Vektorite skalaarkorrutis on arv (skalaar), mis on võrdne ühe sellise vektori pikkuse ja teise vektori projektsiooni korrutisega teljele, mille määrab esimene neist vektoritest. Valem vastavalt 2. määratlusele:

Selle valemi abil lahendame ülesande pärast järgmist olulist teoreetilist punkti.

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon koordinaatidena

Sama arvu võib saada, kui korrutatud vektorid on antud nende koordinaatidega.

3. määratlus. Vektorite punktkorrutis on arv, mis võrdub nende vastavate koordinaatide paariskorrutistega.

Pinnal

Kui kaks vektorit ja tasapinnal on defineeritud nende kahega Descartes'i koordinaadid

siis on nende vektorite punktkorrutis võrdne nende vastavate koordinaatide paarikaupa korrutistega:

.

Näide 2 Leia vektori projektsiooni arvväärtus vektoriga paralleelsele teljele.

Lahendus. Leiame vektorite skalaarkorrutise, lisades nende koordinaatide paarikaupa:

Nüüd peame võrdsustama saadud skalaarkorrutise vektori pikkuse ja vektori projektsiooni korrutisega vektoriga paralleelsele teljele (vastavalt valemile).

Vektori pikkuse leiame selle koordinaatide ruutude summa ruutjuurena:

.

Kirjutage võrrand ja lahendage see:

Vastus. Soovitud arvväärtus on miinus 8.

Kosmoses

Kui kaks vektorit ja ruumis on määratletud nende kolme ristkülikukujulise koordinaadiga

,

siis on ka nende vektorite skalaarkorrutis võrdne nende vastavate koordinaatide paariskorrutistega, ainult et koordinaate on juba kolm:

.

Skalaarkorrutise leidmise ülesanne vaadeldaval viisil on pärast skalaarkorrutise omaduste analüüsimist. Sest ülesandes on vaja kindlaks teha, millise nurga moodustavad korrutatud vektorid.

Vektorite punktkorrutise omadused

Algebralised omadused

1. (kommutatiivne omadus: nende skalaarkorrutise väärtus korrutatud vektorite kohtade muutmisest ei muutu).

2. (assotsiatiivne omadus numbrilise teguri suhtes: vektori skalaarkorrutis mõne teguri ja teise vektori korrutis võrdub nende vektorite skalaarkorrutisega sama teguriga).

3. (jaotusomadus vektorite summa suhtes: kahe vektori summa skalaarkorrutis kolmanda vektori järgi on võrdne esimese vektori skalaarkorrutise summaga kolmanda vektori ja teise vektori kolmanda vektori skalaarkorrutisega).

4. (nullist suurema vektori skalaarruut) kui on nullist erinev vektor ja , kui on nullvektor.

Geomeetrilised omadused

Uuritava tehte definitsioonides oleme juba puudutanud kahe vektori vahelise nurga mõistet. On aeg seda mõistet selgitada.

Ülaltoodud joonisel on näha kaks vektorit, mis on viidud ühisesse algusse. Ja esimene asi, millele peate tähelepanu pöörama: nende vektorite vahel on kaks nurka - φ 1 ja φ 2 . Milline neist nurkadest esineb vektorite skalaarkorrutise definitsioonides ja omadustes? Vaadeldavate nurkade summa on 2 π ja seetõttu on nende nurkade koosinused võrdsed. Punktkorrutise määratlus hõlmab ainult nurga koosinust, mitte selle avaldise väärtust. Kuid kinnistutes arvestatakse ainult ühte nurka. Ja see on üks kahest nurgast, mis ei ületa π st 180 kraadi. See nurk on näidatud joonisel kui φ 1 .

1. Kutsutakse kahte vektorit ortogonaalne ja nurk nende vektorite vahel on täisnurk (90 kraadi või π /2) kui nende vektorite skalaarkorrutis on null :

.

Ortogonaalsus vektoralgebras on kahe vektori risti.

2. Moodustuvad kaks nullist erinevat vektorit terav nurk (0 kuni 90 kraadi või, mis on sama, vähem π punkttoode on positiivne .

3. Moodustuvad kaks nullist erinevat vektorit nürinurk (90 kuni 180 kraadi või, mis on sama - rohkem π /2 ) siis ja ainult siis punktkorrutis on negatiivne .

Näide 3 Vektorid on antud koordinaatides:

.

Arvutage kõigi antud vektorite paaride punktkorrutised. Millise nurga (äge, parem, nüri) need vektoripaarid moodustavad?

Lahendus. Arvutame vastavate koordinaatide korrutised liites.

Saime negatiivse arvu, nii et vektorid moodustavad nürinurga.

Saime positiivse arvu, nii et vektorid moodustavad teravnurga.

Saime nulli, nii et vektorid moodustavad täisnurga.

Saime positiivse arvu, nii et vektorid moodustavad teravnurga.

.

Saime positiivse arvu, nii et vektorid moodustavad teravnurga.

Enesetesti jaoks võite kasutada veebikalkulaator Vektorite ja nendevahelise nurga koosinuse punktkorrutis .

Näide 4 Arvestades kahe vektori pikkust ja nende vahelist nurka:

.

Määrake, millise arvu väärtuse juures on vektorid ja ortogonaalsed (risti).

Lahendus. Korrutame vektorid polünoomide korrutamise reegli järgi:

Nüüd arvutame iga termini:

.

Koostame võrrandi (korrutise võrdus nulliga), esitame sarnased terminid ja lahendame võrrandi:

Vastus: saime väärtuse kätte λ = 1,8 , mille juures vektorid on ortogonaalsed.

Näide 5 Tõesta, et vektor vektori suhtes risti (risti).

Lahendus. Ortogonaalsuse kontrollimiseks korrutame vektorid ja polünoomidena, asendades selle asemel ülesandetingimuses antud avaldise:

.

Selleks peate korrutama esimese polünoomi iga liikme (liikme) teise iga liikmega ja liitma saadud korrutised:

.

Selle tulemusena väheneb tasumisele kuuluv osa. Saadakse järgmine tulemus:

Järeldus: korrutamise tulemusena saime nulli, seega on vektorite ortogonaalsus (perpendikulaarsus) tõestatud.

Lahendage probleem ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 6 Arvestades vektorite pikkused ja , ning nende vektorite vaheline nurk on π /4 . Määrake, mis väärtuses μ vektorid ja on üksteisega risti.

Enesetesti jaoks võite kasutada veebikalkulaator Vektorite ja nendevahelise nurga koosinuse punktkorrutis .

Vektorite skalaarkorrutise ja n-mõõtmeliste vektorite korrutise maatriksesitus

Mõnikord on selguse huvides kasulik esitada kaks korrutatud vektorit maatriksite kujul. Seejärel esitatakse esimest vektorit reamaatriksina ja teist - veerumaatriksina:

Siis on vektorite skalaarkorrutis nende maatriksite korrutis :

Tulemus on sama, mis saadi juba käsitletud meetodil. Saime ühe numbri ja maatriksirea korrutis maatriksiveeruga on samuti üks arv.

Maatrikskujul on mugav kujutada abstraktsete n-mõõtmeliste vektorite korrutist. Seega on kahe neljamõõtmelise vektori korrutis nelja elemendiga reamaatriksi korrutis veerumaatriksiga samuti nelja elemendiga, kahe viiemõõtmelise vektori korrutis on viie elemendiga reamaatriksi korrutis veerumaatriks ka viie elemendiga jne.

Näide 7 Otsige vektorite paaride punktiprodukte

,

kasutades maatriksesitlust.

Lahendus. Esimene vektorite paar. Esitame esimest vektorit reamaatriksina ja teist veerumaatriksina. Leiame nende vektorite skalaarkorrutise reamaatriksi korrutisena veerumaatriksiga:

Samamoodi esindame teist paari ja leiame:

Nagu näete, on tulemused samad, mis näite 2 samade paaride puhul.

Nurk kahe vektori vahel

Kahe vektori vahelise nurga koosinuse valemi tuletus on väga ilus ja sisutihe.

Vektorite punktkorrutise väljendamiseks

(1)

koordinaatkujul leiame esmalt ortide skalaarkorrutise. Vektori skalaarkorrutis iseendaga on definitsiooni järgi:

See, mis on kirjutatud ülaltoodud valemis, tähendab: vektori skalaarkorrutis iseendaga on võrdne selle pikkuse ruuduga. Nulli koosinus on võrdne ühega, seega on iga orthi ruut võrdne ühega:

Kuna vektorid

on paarikaupa risti, siis on ortide paarikaupa korrutised võrdsed nulliga:

Nüüd korrutame vektorpolünoomid:

Asendame võrdsuse paremas servas ortide vastavate skalaarkorrutiste väärtused:

Saame kahe vektori vahelise nurga koosinuse valemi:

Näide 8 Antud kolm punkti A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Leia nurk.

Lahendus. Leiame vektorite koordinaadid:

,

.

Nurga koosinuse valemit kasutades saame:

Seega,.

Enesetesti jaoks võite kasutada veebikalkulaator Vektorite ja nendevahelise nurga koosinuse punktkorrutis .

Näide 9 Antud kaks vektorit

Leidke summa, vahe, pikkus, punktkorrutis ja nendevaheline nurk.

2.Erinevus

Vektorite ja punktide korrutis muudab vektorite vahelise nurga arvutamise lihtsaks. Olgu antud kaks vektorit $\overline(a)$ ja $\overline(b)$, nendevaheline orienteeritud nurk on võrdne $\varphi$. Arvutame väärtused $x = (\overline(a),\overline(b))$ ja $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Siis $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, kus $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ ja $\varphi$ on soovitud nurk, see tähendab, et punkti $(x, y)$ polaarnurk on võrdne $\varphi$ ja seega võib $\varphi$ leida kui atan2(y, x).

Kolmnurga pindala

Kuna vektorkorrutis sisaldab kahe vektori pikkuse korrutist ja nendevahelise nurga koosinust, saab vektorkorrutist kasutada kolmnurga ABC pindala arvutamiseks:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Punkt, mis kuulub sirgele

Olgu antud punkt $P$ ja sirge $AB$ (antud kahe punktiga $A$ ja $B$). Tuleb kontrollida, kas punkt kuulub reale $AB$.

Punkt kuulub reale $AB$ siis ja ainult siis, kui vektorid $AP$ ja $AB$ on kollineaarsed, st kui $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Punkti kuulumine kiirele

Olgu antud punkt $P$ ja kiir $AB$ (antud kahe punktiga - kiire $A$ algus ja punkt kiirel $B$). Tuleb kontrollida, kas punkt kuulub kiirele $AB$.

Tingimusele, et punkt $P$ kuulub reale $AB$, tuleb lisada lisatingimus - vektorid $AP$ ja $AB$ on kaassuunalised ehk on kollineaarsed ja nende skalaarkorrutis on mittenegatiivne, see tähendab $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Lõigusse kuuluv punkt

Olgu antud punkt $P$ ja lõik $AB$. Tuleb kontrollida, kas punkt kuulub segmenti $AB$.

Sel juhul peab punkt kuuluma nii kiirele $AB$ kui ka kiirele $BA$, seega tuleb kontrollida järgmisi tingimusi:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Kaugus punktist jooneni

Olgu antud punkt $P$ ja sirge $AB$ (antud kahe punktiga $A$ ja $B$). On vaja leida kaugus sirge $AB$ punktist.

Vaatleme kolmnurka ABP. Ühest küljest on selle pindala $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Teisest küljest on selle pindala $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, kus $h$ on kõrgus punktist $P$, st kaugus punktist $P$ kuni $ AB. $. Kust $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Kaugus punktist kiirteni

Olgu antud punkt $P$ ja kiir $AB$ (antud kahe punktiga - kiire $A$ algus ja punkt kiirel $B$). On vaja leida kaugus punktist kiireni, see tähendab lühima lõigu pikkus punktist $P$ kuni kiire suvalise punktini.

See kaugus on võrdne pikkusega $AP$ või kaugusega punktist $P$ sirgeni $AB$. Milline juhtudest toimub, saab kergesti määrata kiire ja punkti suhtelise asukoha järgi. Kui nurk PAB on terav, st $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, siis vastuseks on kaugus punktist $P$ jooneni $AB$, vastasel juhul on vastuseks pikkus segmendist $AB$.

Kaugus punktist jooneni

Olgu antud punkt $P$ ja lõik $AB$. On vaja leida kaugus $P$ ja segmendi $AB$ vahel.

Kui $P$-lt sirgele $AB$ langenud risti alus langeb lõigule $AB$, mida saab tingimustega kontrollida

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

siis vastuseks on kaugus punktist $P$ sirgeni $AB$. Vastasel juhul on vahemaa võrdne $\min(AP, BP)$.

Definitsioon 1

Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu, mis on võrdne nende vektorite düünide ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

Vektorite a → ja b → korrutise tähistus on kujul a → , b → . Teisendame valemiks:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → ja b → tähistavad vektorite pikkusi, a → , b → ^ tähistavad antud vektorite vahelist nurka. Kui vähemalt üks vektor on null, see tähendab, et selle väärtus on 0, siis on tulemus null, a → , b → = 0

Vektorit endaga korrutades saame selle düni ruudu:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

2. definitsioon

Vektori skalaarkorrutist iseenesest nimetatakse skalaarruuduks.

Arvutatakse järgmise valemi järgi:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

A → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → kirjutamine näitab, et npb → a → on a → arvuline projektsioon punktile b → , npa → a → - b → projektsioon vastavalt a →.

Koostame korrutise määratluse kahe vektori jaoks:

Kahe vektori a → skalaarkorrutist b → nimetatakse vektori a → pikkuse korrutiseks b → suuna a → projektsiooniga või b → pikkuse korrutiseks a → projektsiooniga, vastavalt.

Punktkorrutis koordinaatides

Skalaarkorrutise arvutamist saab teha vektorite koordinaatide kaudu antud tasapinnas või ruumis.

Kahe vektori skalaarkorrutist tasapinnal, kolmemõõtmelises ruumis, nimetatakse antud vektorite a → ja b → koordinaatide summaks.

Arvutades Descartes'i süsteemis antud vektorite a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) punktkorrutise tasapinnal, kasuta:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

kolmemõõtmelise ruumi puhul on rakendatav avaldis:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Tegelikult on see punktitoote kolmas määratlus.

Tõestame seda.

Tõestus 1

Selle tõestamiseks kasutame a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by vektorite a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) jaoks Descartes'il. süsteem.

Vektorid tuleks edasi lükata

O A → = a → = a x, a y ja O B → = b → = b x, b y.

Siis on vektori A B → pikkus võrdne A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Vaatleme kolmnurka O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) on koosinusteoreemi alusel tõene.

Tingimuse järgi on näha, et O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , seega kirjutame vektoritevahelise nurga leidmise valemi erinevalt

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Siis tuleneb esimesest definitsioonist, et b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , seega (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Rakendades vektorite pikkuse arvutamise valemit, saame:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + x 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

Tõestame võrdsust:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– vastavalt kolmemõõtmelise ruumi vektorite puhul.

Koordinaatidega vektorite skalaarkorrutis ütleb, et vektori skalaarruut on võrdne tema koordinaatide ruutude summaga vastavalt ruumis ja tasapinnal. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) ja (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Punkttoode ja selle omadused

Punktilised tooteomadused kehtivad a → , b → ja c → jaoks:

1. kommutatiivsus (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributiivsus (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. assotsiatiivne omadus (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - suvaline arv;
4. skalaarruut on alati suurem kui null (a → , a →) ≥ 0, kus (a → , a →) = 0, kui a → null.

Näide 1

Omadused on seletatavad punktkorrutise määratlusega tasapinnas ning reaalarvude liitmise ja korrutamise omadustega.

Tõesta kommutatiivsuse omadus (a → , b →) = (b → , a →) . Definitsioonist saame, et (a → , b →) = a y b y + a y b y ja (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Kommutatiivsuse omaduse järgi on võrdsed a x · b x = b x · a x ja a y · b y = b y · a y tõesed, seega a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Sellest järeldub, et (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Jaotus kehtib mis tahes numbrite puhul:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

ja (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

seega meil on

(a (1) → + a (2) → + ... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Punkttoode koos näidete ja lahendustega

Sellise plaani kõik probleemid lahendatakse skalaarkorrutise omaduste ja valemite abil:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y või (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Vaatame mõningaid näiteid lahendustest.

Näide 2

Pikkus a → on 3, pikkus b → on 7. Leia punktkorrutis, kui nurk on 60 kraadi.

Lahendus

Tingimuste järgi on meil kõik andmed olemas, seega arvutame valemiga:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Vastus: (a → , b →) = 21 2 .

Näide 3

Antud vektorid a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Mis on skalaarkorrutis.

Lahendus

Selles näites vaadeldakse koordinaatide arvutamise valemit, kuna need on määratletud ülesande avalduses:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Vastus: (a → , b →) = - 9

Näide 4

Leidke A B → ja A C → sisekorrutis. Punktid A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) on antud koordinaattasandil.

Lahendus

Alustuseks arvutatakse vektorite koordinaadid, kuna punktide koordinaadid on antud tingimusega:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Asendades valemi koordinaatide abil, saame:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Vastus: (A B → , A C →) = 28 .

Näide 5

Antud vektorid a → = 7 m → + 3 n → ja b → = 5 m → + 8 n → , leidke nende korrutis. m → on võrdne 3 ja n → on 2 ühikut, need on risti.

Lahendus

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Rakendades jaotusomadust, saame:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Võtame koefitsiendi väljapoole toote märki ja saame:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Kommutatiivsuse omaduse järgi teisendame:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Selle tulemusena saame:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Nüüd rakendame skalaarkorrutise valemit tingimusega määratud nurgaga:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Vastus: (a → , b →) = 411

Kui on olemas arvprojektsioon.

Näide 6

Leidke a → ja b → sisekorrutis. Vektoril a → on koordinaadid a → = (9 , 3 , - 3) , projektsioonil b → on koordinaadid (- 3 , - 1 , 1) .

Lahendus

Tingimuse järgi on vektorid a → ja projektsioon b → vastandsuunalised, kuna a → = - 1 3 npa → b → → , seega projektsioon b → vastab pikkusele npa → b → → ja “-” märk:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Asendades valemi, saame avaldise:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Vastus: (a → , b →) = - 33 .

Tuntud skalaarkorrutise ülesanded, kus on vaja leida vektori pikkus või arvprojektsioon.

Näide 7

Millise väärtuse λ peaks antud skalaarkorrutise jaoks saama a → \u003d (1, 0, λ + 1) ja b → \u003d (λ, 1, λ), võrdub -1.

Lahendus

Valemist on näha, et on vaja leida koordinaatide korrutiste summa:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Antud juhul on meil (a → , b →) = - 1 .

λ leidmiseks arvutame võrrandi:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , seega λ = - 1 .

Vastus: λ = - 1 .

Skalaarkorrutise füüsiline tähendus

Mehaanika kaalub punkttoote rakendamist.

Töötades A konstantse jõuga F → liikuv keha punktist M punkti N, võib leida vektorite F → ja MN → pikkuste korrutise nendevahelise nurga koosinusiga, mis tähendab, et töö on võrdne jõu ja nihkevektorite korrutis:

A = (F → , M N →) .

Näide 8

Materiaalse punkti nihkumine 3 meetri võrra 5 Ntonni suuruse jõu mõjul on suunatud telje suhtes 45-kraadise nurga all. Leia .

Lahendus

Kuna töö on jõuvektori ja nihke korrutis, siis lähtudes tingimusest F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , saame A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Vastus: A = 15 2 2 .

Näide 9

Materiaalne punkt, liikudes punktist M (2, - 1, - 3) punktini N (5, 3 λ - 2, 4) jõu F → = (3, 1, 2) mõjul, töötas 13 J. Arvutage liikumise pikkus.

Lahendus

Vektori M N → antud koordinaatide jaoks on meil M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Töö leidmise valemiga vektoritega F → = (3 , 1 , 2) ja MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) saame A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Tingimuse järgi on antud, et A \u003d 13 J, mis tähendab 22 + 3 λ \u003d 13. See tähendab, et λ = -3, seega M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, -10, 7).

Rännaku pikkuse M N → leidmiseks rakendame valemit ja asendame väärtused:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Vastus: 158.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Loeng: Vektori koordinaadid; vektorite punktkorrutis; nurk vektorite vahel

Vektori koordinaadid

Niisiis, nagu varem mainitud, on vektor suunatud segment, millel on oma algus ja lõpp. Kui algust ja lõppu kujutavad mingid punktid, siis on neil tasapinnal või ruumis oma koordinaadid.

Kui igal punktil on oma koordinaadid, siis saame kogu vektori koordinaadid.

Oletame, et meil on vektor, mille vektori alguses ja lõpus on järgmised tähised ja koordinaadid: A(A x ; Ay) ja B(B x ; By)

Selle vektori koordinaatide saamiseks tuleb vektori lõpu koordinaatidest lahutada vastavad alguskoordinaadid:

Vektori koordinaadi ruumis määramiseks kasutage järgmist valemit:

Vektorite punktkorrutis

Punkttoote kontseptsiooni määratlemiseks on kaks võimalust.

• Geomeetriline viis. Tema sõnul on skalaarkorrutis võrdne nende moodulite väärtuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

• algebraline tähendus. Algebra seisukohalt on kahe vektori skalaarkorrutis teatud väärtus, mis tuleneb vastavate vektorite korrutiste summast.

Kui vektorid on antud ruumis, peaksite kasutama sarnast valemit:

Omadused:

• Kui korrutate kaks identset vektorit skalaarselt, on nende skalaarkorrutis mittenegatiivne:

• Kui kahe identse vektori skalaarkorrutis on võrdne nulliga, loetakse need vektorid nulliks:

• Kui teatud vektor korrutatakse iseendaga, võrdub skalaarkorrutis selle mooduli ruuduga:

• Skalaarkorrutisel on kommunikatiivne omadus, see tähendab, et skalaarkorrutis ei muutu vektorite permutatsioonist:

• Nullist erineva vektorite skalaarkorrutis saab olla null ainult siis, kui vektorid on üksteisega risti:

• Vektorite skalaarkorrutisele kehtib kommutatsiooniseadus juhul, kui üks vektor korrutatakse arvuga:

• Punktkorrutise korral saate kasutada ka korrutamise jaotusomadust:

Nurk vektorite vahel