Näited suvalise konstandi muutmise meetodi kohta. Suvaliste konstantide muutmise meetod

Suvaliste konstantide muutmise meetod

Meetod suvaliste konstantide muutmiseks lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahenduse koostamiseks

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

koosneb suvaliste konstantide asendamisest c küldlahenduses

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

vastav homogeenne võrrand

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

abifunktsioonide jaoks c k (t) , mille tuletised rahuldavad lineaarset algebralist süsteemi

Süsteemi (1) determinant on funktsioonide Wronski z 1 ,z 2 ,...,z n , mis tagab selle ainulaadse lahendatavuse suhtes .

Kui on antiderivaadid, mis on võetud integreerimiskonstantide fikseeritud väärtustega, siis funktsioon

on algse lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahendus. Seega taandatakse mittehomogeense võrrandi integreerimine vastava homogeense võrrandi üldlahenduse juuresolekul kvadratuurideks.

Meetod suvaliste konstantide muutmiseks lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemi lahenduste koostamiseks vektori normaalkujul

seisneb konkreetse lahenduse (1) konstrueerimises kujul

Kus Z(t) on vastava homogeense võrrandi lahendite alus, mis on kirjutatud maatriksi kujul, ja vektorifunktsioon , mis asendas suvaliste konstantide vektori, on defineeritud seosega . Nõutav konkreetne lahendus (null algväärtusega kell t = t 0 näeb välja nagu

Konstantsete koefitsientidega süsteemi puhul on viimast avaldist lihtsustatud:

Maatriks Z(t)Z– 1 (τ) helistas Cauchy maatriks operaator L = A(t) .

Välised lingid

• exponenta.ru - teoreetiline teave näidetega

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Suvalise konstandi muutmise meetod ehk Lagrange'i meetod on veel üks viis esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite ja Bernoulli võrrandi lahendamiseks.

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid on võrrandid kujul y’+p(x)y=q(x). Kui paremal küljel on null: y’+p(x)y=0, siis on see lineaarne homogeenne 1. järku võrrand. Seega on võrrand, mille parempoolne pool on nullist erinev, y’+p(x)y=q(x), heterogeenne 1. järku lineaarvõrrand.

Suvalise konstandi muutmise meetod (Lagrange'i meetod) on järgmine:

1) Otsime üldlahendust homogeensele võrrandile y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Üldlahenduses käsitleme C-d mitte konstandiks, vaid funktsiooniks x: C = C (x). Leiame üldlahenduse (y*)’ tuletise ja asendame saadud avaldise y* ja (y*)’ algtingimusega. Saadud võrrandist leiame funktsiooni C(x).

3) Homogeenvõrrandi üldlahendis asendame C asemel leitud avaldise C(x).

Vaatame näiteid suvalise konstandi muutmise meetodi kohta. Võtame samad ülesanded, mis on, võrdleme lahenduse edenemist ja veendume, et saadud vastused langevad kokku.

1) y’=3x-y/x

Kirjutame võrrandi ümber standardkujul (erinevalt Bernoulli meetodist, kus meil oli tähistusvormi vaja ainult selleks, et näha, et võrrand on lineaarne).

y’+y/x=3x (I). Nüüd jätkame plaanipäraselt.

1) Lahendage homogeenne võrrand y’+y/x=0. See on eraldatavate muutujatega võrrand. Kujutage ette y’=dy/dx, asenda: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagame xy≠0-ga: dy/y=-dx/x. Integreerime:

2) Saadud homogeense võrrandi üldlahendis käsitleme C-d mitte konstantina, vaid x-i funktsioonina: C=C(x). Siit

Asendame saadud avaldised tingimusega (I):

Integreerime võrrandi mõlemad pooled:

siin C on juba mingi uus konstant.

3) Homogeense võrrandi y=C/x üldlahenduses, kus eeldasime C=C(x), st y=C(x)/x, asendame C(x) asemel leitud avaldise x³ +C: y=(x³ +C)/x või y=x²+C/x. Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Vastus: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Siin on võrrand juba standardkujul kirjutatud, seda pole vaja teisendada.

1) Lahendage homogeenne lineaarvõrrand y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integreerime:

Mugavama tähistusvormi saamiseks võtame astendaja C astmesse kui uueks C:

See teisendus tehti tuletise leidmise mugavamaks muutmiseks.

2) Lineaarse homogeense võrrandi saadud üldlahendis käsitleme C-d mitte konstandiks, vaid x funktsiooniks: C=C(x). Sellel tingimusel

Asendame saadud avaldised y ja y tingimusega:

Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga

Integreerime võrrandi mõlemad pooled, kasutades osade kaupa integreerimise valemit, saame:

Siin pole C enam funktsioon, vaid tavaline konstant.

3) Homogeenvõrrandi üldlahendis

asendage leitud funktsioon C(x):

Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Lahendamiseks on rakendatav ka suvalise konstandi muutmise meetod.

y'x+y=-xy².

Toome võrrandi standardkujule: y’+y/x=-y² (II).

1) Lahendage homogeenne võrrand y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-ga ja jagame y-ga: dy/y=-dx/x. Nüüd integreerime:

Asendame saadud avaldised tingimusega (II):

Lihtsustame:

Saime võrrandi C ja x jaoks eraldatavate muutujatega:

Siin on C juba tavaline konstant. Integreerimise käigus kirjutasime C(x) asemel lihtsalt C, et mitte tähistust üle koormata. Ja lõpus pöördusime tagasi C(x) juurde, et mitte segi ajada C(x) uue C-ga.

3) Homogeense võrrandi y=C(x)/x üldlahenduses asendame leitud funktsiooni C(x):

Saime sama vastuse, mis Bernoulli meetodil lahendades.

Enesetesti näited:

1. Kirjutame võrrandi ümber standardkujul: y’-2y=x.

1) Lahendage homogeenne võrrand y’-2y=0. y’=dy/dx, seega dy/dx=2y, korrutage võrrandi mõlemad pooled dx-ga, jagage y-ga ja integreerige:

Siit leiame y:

Asendame avaldised y ja y' tingimuses (lühiduse huvides kasutame C(x) asemel C ja C'(x) asemel C'):

Parempoolse integraali leidmiseks kasutame osade kaupa integreerimise valemit:

Nüüd asendame valemis u, du ja v:

Siin C =konst.

3) Nüüd asendame lahusega homogeense

Vaatleme esimest järku lineaarset ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit:
(1) .
Selle võrrandi lahendamiseks on kolm võimalust:

• konstandi muutmise meetod (Lagrange).

Vaatleme esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamist Lagrange'i meetodi abil.

Konstandi muutmise meetod (Lagrange)

Konstantmeetodi variatsioonis lahendame võrrandi kahes etapis. Esimeses etapis lihtsustame algset võrrandit ja lahendame homogeense võrrandi. Teises etapis asendame lahenduse esimeses etapis saadud integreerimiskonstandi funktsiooniga. Seejärel otsime algsele võrrandile üldlahendust.

Mõelge võrrandile:
(1)

1. samm Homogeense võrrandi lahendamine

Otsime lahendust homogeensele võrrandile:

See on eraldatav võrrand

Eraldame muutujad - korrutage dx-ga, jagage y-ga:

Integreerime:

Integraal üle y – tabel:

Siis

Tugevdame:

Asendame konstant e C C-ga ja eemaldame mooduli märgi, mis taandub konstandiga korrutamisele ±1, mille lisame C-sse:

2. samm Asenda konstant C funktsiooniga

Nüüd asendame konstanti C funktsiooniga x:
C → u (x)
See tähendab, et otsime lahendust algsele võrrandile (1) nagu:
(2)
Tuletise leidmine.

Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile:
.
Vastavalt toodete eristamise reeglile:

.
Asendage algsesse võrrandisse (1) :
(1) ;

.
Kaks liiget vähendatakse:
;
.
Integreerime:
.
Asendus sisse (2) :
.
Selle tulemusena saame esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse:
.

Näide esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamisest Lagrange'i meetodil

Lahenda võrrand

Lahendus

Lahendame homogeense võrrandi:

Eraldame muutujad:

Korruta:

Integreerime:

Tabeli integraalid:

Tugevdame:

Asendame konstant e C C-ga ja eemaldame mooduli märgid:

Siit:

Asendame konstanti C funktsiooniga x:
C → u (x)

Tuletise leidmine:
.
Asendage algsesse võrrandisse:
;
;
Või:
;
.
Integreerime:
;
Võrrandi lahendus:
.